Analysis Beispiele

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 2 x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x + 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 x + 2 y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y^{2} - 2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y^{2} - 2 x y$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2$ aus $4 x - 2 y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- y)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- 2 x)$ heraus.

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - y$ und $y - 2 x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 x) - (y)$ heraus.

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (- 2 x + y)$ als $- 1 (- 2 x + y)$ um.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Schritt 4.3.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Schritt 4.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Schritt 4.3.4.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $y^{2} - 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y^{2} - 2 x y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y^{2} - 2 x y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- 2 x)$ heraus.

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 8.2

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.5.1

Schreibe $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ als $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ um.

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Schritt 8.5.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- \frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{y}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{y}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 11.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Subtrahiere $\frac{y - 2 x}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x - y + 2 x$ .

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Schritt 12.1.1.4.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.4.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Schritt 12.1.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $1$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = x + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$