Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = \cos (x)$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = \cos (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \cot (x)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Schritt 2.2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Stelle $\sin (x)$ und $\cot (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\sin (x) (\cot (x) y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x) \cos (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sin (x) y = \int \sin (x) \cos (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\sin (x) y = \int u d u$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ durch $\sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (x) y = \frac{1}{2} \sin^{2} (x) + C$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (x)$ und $\sin (x)$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\frac{1}{2} \sin^{2} (x)$ heraus.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x) (\frac{1}{2} \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{2} \sin (x)}{1} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{2} \sin (x)$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Schritt 8.3.1.5

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + C \csc (x)$