Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Schritt 7.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Schritt 7.6

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Schritt 7.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.1

Schreibe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ als $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ um.

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Schritt 7.7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Schritt 7.7.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $- \cos (x)$ durch $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.3

Um $- \cos (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.4

Kombiniere $- \cos (x)$ und $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x) x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x \sin (x)$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ heraus.

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.13.1

Schreibe $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ als $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ um.

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Schritt 8.3.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Schritt 8.3.13.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ um.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$