Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{3 y - 4 x}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{3 y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{3}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{3}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 3}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{- 4 x}{x}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x}$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3} x^{1}}$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{3 + 1}}$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1 (- 4 x)}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 4 x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4 x}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x^{4}}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{- 4}{x^{3}}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = - \frac{4}{x^{3}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int - \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{3}} y = - \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Schritt 7.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{3}} y = - (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7.3.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 \int x^{- 3} d x$

Schritt 7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 7.5.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{3}} y = - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 7.5.3

Vereinfache.

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Schritt 7.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{4}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 7.5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{2})} + C$

Schritt 7.5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2 \cdot 2}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{2}{x^{2}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Subtrahiere $\frac{2}{x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} = C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{3}} y - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{3}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Addiere $\frac{2}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{3}} - C = \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{2}{x^{2}} + C) x^{3}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{x^{2}} x^{3} + C x^{3}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x) + C x^{3}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 x + C x^{3}$

Schritt 8.4.2.1.3

Stelle $2 x$ und $C x^{3}$ um.

$y = C x^{3} + 2 x$