Analysis Beispiele

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $2 x (1 + e^{y}) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $e^{y} (1 + x^{2})$ heraus.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{y}}$ und $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + e^{y}$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $1 + e^{y}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ heraus.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + e^{y}$ aus $x (1 + e^{y})$ heraus.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Schritt 3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{2}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Dann ist $d u_{1} = e^{y} d y$ , folglich $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Schritt 4.2.1.1.4

Addiere $0$ und $e^{y}$ .

$e^{y}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 4.3.2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 4.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$