Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r x}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $r^{2} e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- 2 r e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $- 3 e^{r x}$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $e^{r x}$ aus $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ heraus.

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r^{2} - 2 r - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Schritt 3.5

Setze $r - 4$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $r - 4$ gleich $0$ .

$r - 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 4$

Schritt 3.6

Setze $r + 2$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $r + 2$ gleich $0$ .

$r + 2 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 2$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 4) (r + 2) = 0$ wahr machen.

$r = 4, - 2$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$