Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.3.2

Kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} x$ heraus.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Schritt 3.3

Vereinfache $4 \ln (| x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Schritt 3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$