Analysis Beispiele

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 1$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ um.

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ ersetzt wird.

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ um.

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Schritt 6.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C - 1 = 1$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 + 1$

Schritt 6.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$C = 2$

Schritt 7

Setze $2$ für $C$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $2$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$