Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Schritt 1.4

Dividiere $3 y^{\frac{4}{3}}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{6 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{6}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{6}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{\frac{4}{3}}$ ist.

$v = y^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 3}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 3}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- 3}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 3}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 3}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{3}}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{3}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{3 \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Schritt 5.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{3} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $v^{3}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Schritt 5.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{3}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Schritt 5.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Schritt 5.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y' = - \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Schritt 5.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $v^{2}$ und $v^{6}$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $v^{2}$ aus $3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]$ heraus.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{6}}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $v^{2}$ aus $v^{6}$ heraus.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 \frac{d}{d x} [v]}{v^{4}}$

Schritt 5.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{3 v'}{v^{4}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{3 v'}{v^{4}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 3}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$ ein.

$- \frac{3 v'}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ mit $- \frac{v^{4}}{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ mit $- \frac{v^{4}}{3}$ .

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v^{4}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \frac{d v}{d x}$ heraus.

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- v^{4}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{4}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $v^{4}$ aus $- v^{4}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} v^{- 3} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{1}{v^{3}} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{1}{v^{3}}$ mit $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{v^{3} x}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.8.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (- 2)}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 \cdot - 2}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{3}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.9.1

Faktorisiere $v^{3}$ aus $v^{3} x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.9.2

Faktorisiere $v^{3}$ aus $v^{4}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.10

Kombiniere $\frac{- 2}{x}$ und $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{v^{4}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Schritt 7.1.1.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 ({(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}) \frac{- v^{4}}{3}$

Schritt 7.1.1.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Schritt 7.1.1.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- v^{4})$

Schritt 7.1.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1.1.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 3 (\frac{4}{3})} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 (- 1) \frac{4}{3}} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 \cdot - 1 \frac{4}{3}} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 1 \cdot 4} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 4} v^{4}$

Schritt 7.1.1.3.3

Multipliziere $v^{- 4}$ mit $v^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Bewege $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (v^{4} v^{- 4})$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{4 - 4}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.4

Vereinfache $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{2 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 1$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{2}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 1$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{2}{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 v}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}}$

Schritt 7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.7.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.7.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{- 2} d x$

Schritt 7.7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 7.7.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.4.1

Schreibe $- (- x^{- 1} + C)$ als $- - \frac{1}{x} + C$ um.

$\frac{1}{x^{2}} v = - - \frac{1}{x} + C$

Schritt 7.7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.7.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 1 \frac{1}{x} + C$

Schritt 7.7.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{1}{x} + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} = C$

Schritt 7.8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} - C = 0$

Schritt 7.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{1}{x} - C = 0$

Schritt 7.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.2.1

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{1}{x}$

Schritt 7.8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} + C$

Schritt 7.8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4

Vereinfache.

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Schritt 7.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = x + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.3

Stelle $x$ und $C x^{2}$ um.

$v = C x^{2} + x$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = C x^{2} + x$