Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x + y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{y}{x + y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.7

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.2.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.1

Faktorisiere $V$ aus $V - V (1 + V)$ heraus.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.3

Faktorisiere $V$ aus $- V (1 + V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.1.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 1 + V (- (1 + V))$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.5

Subtrahiere $V$ von $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1.1.2.3.4.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V)}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.3

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{1})}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 1}}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2}}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2}}{1 + V}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V^{2}}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x (1 + V)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + V}{V^{2}}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{V^{2}}{1 + V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + V}{V^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $1 + V$ aus $- (1 + V)$ heraus.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Faktorisiere $1 + V$ aus $(1 + V) x$ heraus.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) (x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Schritt 6.1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + V}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + V}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 + V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (1 + V) V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere $(1 + V) V^{- 2}$ .

$\int 1 V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $V^{- 2}$ mit $1$ .

$\int V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Multipliziere $V$ mit $V^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $V$ mit $V^{- 2}$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{1} V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int V^{- 2} + V^{1 - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int V^{- 2} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 2}$ nach $V$ gleich $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $V^{- 1}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Schritt 8.3.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.4.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x}{y}) + C$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{y} + C$