Analysis Beispiele

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$8 y d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int y d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ durch $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombinieren.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

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Schritt 3.3.1

Um $\frac{K}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{K}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Schritt 3.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Schritt 3.3.5

Schreibe $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ um.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $8$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Schritt 3.3.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Schritt 3.3.7

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.8

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.3.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.11.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.3.11.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.3.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.11.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.11.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.11.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.11.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.11.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.11.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.11.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.11.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 3.3.11.7.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.3.13.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$