Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Schritt 1.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Schritt 1.1.3

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Schritt 1.1.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (y)}$ nach $\csc (y)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Schritt 1.1.5.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $\csc (y)$ aus $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ heraus.

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Schritt 1.1.6.1

Faktorisiere $\csc (y)$ aus $x \csc (y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Schritt 1.1.6.2

Faktorisiere $\csc (y)$ aus $- 9 \csc (y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Schritt 1.1.6.3

Faktorisiere $\csc (y)$ aus $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (y)$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\csc (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (y)}$ zu dividieren.

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ als $- (\frac{1}{2} x^{2})$ um.

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (- 9 x)$ als $- (- 9 x)$ um.

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.8

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$