Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ als $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ ersetzt wird.

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ um.

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + K = 8$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 8 - 12$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$K = - 4$

Schritt 5

Setze $- 4$ für $K$ in $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 4$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$