Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{x}{y} - x y$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{x}{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Schritt 1.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Schritt 1.2.3

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- y$ und $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Schritt 1.2.6.2

Schreibe $y \cdot y$ als $y^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Schritt 1.2.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + y) (1 - y)$ .

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $(1 + y) (1 - y)$ aus $x ((1 + y) (1 - y))$ heraus.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Schritt 1.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = (1 + y) (1 - y)$ . Dann ist $d u = - 2 y d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = (1 + y) (1 - y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 + y$ und $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (1 + y)$ als $- (1 + y)$ um.

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.1.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.2.1.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.11

Mutltipliziere $1 - y$ mit $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- y + 0 - y$

Schritt 2.2.1.1.4.2.3

Addiere $- y$ und $0$ .

$- y - y$

Schritt 2.2.1.1.4.2.4

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$- 2 y$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kombiniere $\ln (| 1 - y^{2} |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.5

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - y^{2} |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ um.

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.4.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ als $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ um.

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.4.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Schritt 3.5.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- x^{2} + C}$ als $e^{- x^{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$