Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} - 20 t^{4} e^{- y} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $20 t^{4} e^{- y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} = 20 t^{4} e^{- y}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (20 t^{4} e^{- y})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 \frac{1}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $t^{4} e^{- y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 t^{4}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 20 t^{4} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 20 t^{4} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 20 \int t^{4} d t$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Schreibe $20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$ als $20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$ um.

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $20$ und $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{20}{5} t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5} t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)} t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 t^{5} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = 4 t^{5} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (4 t^{5} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (4 t^{5} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (4 t^{5} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (4 t^{5} + K)$