Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3 x}{y})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3 x}{y}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

Schritt 1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = - (3 x)$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - 3 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = - 3 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - 3 x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 3 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $- 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = - 3 x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + K}$