Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} \cdot \frac{\cos^{2} (y)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (y)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (y)}{\cos^{2} (y) \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2.4

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 1.2.5

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 2.3

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = - \cot (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \cot (x) + K = \tan (y)$ um.

$- \cot (x) + K = \tan (y)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cot (x) = \tan (y) - K$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- \cot (x) = \tan (y) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cot (x) = \tan (y) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cot (x)}{- 1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cot (x)}{1} = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $\cot (x)$ durch $1$ .

$\cot (x) = \frac{\tan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\tan (y)}{- 1}$ .

$\cot (x) = - 1 \cdot \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \tan (y)$ als $- \tan (y)$ um.

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cot (x) = - \tan (y) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.3.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\cot (x) = - \tan (y) + K$

Schritt 3.4

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \tan (y) + K)$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $arccot (- \tan (y) + K) = x$ um.

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Schritt 3.6

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Schritt 3.7

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Schritt 3.8

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y) = \cot (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y) = \cot (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.2.2

Dividiere $\tan (y)$ durch $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \cot (x)$ als $- \cot (x)$ um.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.8.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.8.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Schritt 3.9

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$

Schritt 3.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$arccot (- \tan (y) + K) = x$

Schritt 3.11

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\tan (y)$ from inside the arccotangent.

$- \tan (y) + K = \cot (x)$

Schritt 3.12

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \tan (y) = \cot (x) - K$

Schritt 3.13

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y) = \cot (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \tan (y) = \cot (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \tan (y)}{- 1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\tan (y)}{1} = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.2.2

Dividiere $\tan (y)$ durch $1$ .

$\tan (y) = \frac{\cot (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\cot (x)}{- 1}$ .

$\tan (y) = - 1 \cdot \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \cot (x)$ als $- \cot (x)$ um.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 3.13.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\tan (y) = - \cot (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 3.13.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\tan (y) = - \cot (x) + K$

Schritt 3.14

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (- \cot (x) + K)$