Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \sin (t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = (\frac{1}{t^{2}} + \sin (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int \frac{1}{t^{2}} + \sin (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int \frac{1}{t^{2}} + \sin (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$s + C_{1} = \int \frac{1}{t^{2}} d t + \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$s + C_{1} = \int {(t^{2})}^{- 1} d t + \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s + C_{1} = \int t^{2 \cdot - 1} d t + \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$s + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$s + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int \sin (t) d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} - \cos (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$s + C_{1} = - \frac{1}{t} - \cos (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = - \frac{1}{t} - \cos (t) + K$