Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

Schritt 1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ um.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 7.7

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.7.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.7.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.7.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 7.8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 7.10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 7.11

Vereinfache.

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Schritt 7.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 7.13

Vereinfache.

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Schritt 7.13.1

Schreibe $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2

Vereinfache.

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Schritt 7.13.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.2

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.13.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 7.14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15

Vereinfache.

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Schritt 7.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.15.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ in den Zähler.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.2.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.15.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 7.15.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 7.15.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 7.15.4.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

Schritt 7.15.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

Schritt 7.15.6

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

Schritt 7.15.7

Stelle die Faktoren in $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ um.

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ durch $e^{- 2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ durch $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$