Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $1 + \sqrt{y}$ .

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sqrt{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = (1 + \sqrt{y}) \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + \sqrt{y}) \frac{d y}{d x} = 1 + \sqrt{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(1 + \sqrt{y}) d y = (1 + \sqrt{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 1 + \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int \sqrt{y} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} + \int y^{\frac{1}{2}} d y = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$y + \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int 1 + \sqrt{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \int d x + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2.3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + C_{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = x + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x + K$