Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x}$

Schritt 1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y x |) = C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (| y x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $| y x | = e^{C}$ um.

$| y x | = e^{C}$

Schritt 3.6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = \pm e^{C}$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{x}$