Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x}{1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.5.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x - 1$

Schritt 1.6

Faktorisiere $y$ aus $\frac{3 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x - 1$

Schritt 1.7

Stelle $y$ und $\frac{3}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x - 1$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{3}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{3}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{3 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{3})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{3}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} + x^{3} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - 1 \cdot x^{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - x^{3}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x^{4} - x^{3}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x^{4} - x^{3} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{3} y = \int x^{4} - x^{3} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x^{3} y = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{3} d x$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{3} d x$

Schritt 7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $\frac{1}{5} x^{5}$ heraus.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $\frac{1}{5} x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- \frac{1}{4} x^{4}$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.3.2.4

Dividiere $- \frac{1}{4} x$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{4} x + \frac{C}{x^{3}}$

Schritt 8.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}$