Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y^{2} e^{- x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- x})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} e^{- x}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (e^{- x}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- x})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{- x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = e^{- x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - e^{- x} y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} y + K y$ um.

$- 1 = - y e^{- x} + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- y e^{- x} + K y = - 1$ um.

$- y e^{- x} + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{- x} + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{- x}$ heraus.

$y (- 1 e^{- x}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (- 1 e^{- x}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 e^{- x}) + y K$ heraus.

$y (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$y (- e^{- x} + K) = - 1$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{- x} + K) = - 1$ durch $- e^{- x} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{- x} + K) = - 1$ durch $- e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{- x} + K$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{- e^{- x} + K}$

Schritt 3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{- x}$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) + K}$

Schritt 3.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $K$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) - 1 (- K)}$

Schritt 3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (e^{- x} - K)$ als $- 1 (e^{- x} - K)$ um.

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- x} - K)}$

Schritt 3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{1}{e^{- x} - K}$

Schritt 3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- x} - K}$

Schritt 3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{- x} - K}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- x} - K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1}{e^{- x} + K}$