Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Schritt 2.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 \int \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \int x d x$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C$