Analysis Beispiele

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} + 2 x y - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.4

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.6

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Schritt 3.12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Schritt 3.12.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Schritt 3.12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 y + 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - 2 y + 2$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - 2 y + 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2 y + 2$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 y) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Schritt 5.3.6

Schreibe $- (2 y - 1)$ als $- 1 (2 y - 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Schritt 5.3.7

Ersetze $M$ durch $y$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Schritt 6.2

Dividiere $2 y - 1$ durch $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Schritt 6.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Schritt 6.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Schritt 6.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 y + 0$

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Schritt 6.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.4

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.6

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Schritt 6.7

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $y$ mit $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ mit $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Schritt 7.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 7.6

Multipliziere $e^{y}$ mit $e^{- 2 y + \ln (y)}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Bewege $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 7.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 7.6.3

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 y + \ln (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.7

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $e^{- 2 y + \ln (y)}$ mit $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ heraus.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.3.4

Entferne die Klammern.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.4

Addiere $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ und $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 12.5.5

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ um.

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.2.1

Addiere $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ und $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ und $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 13.1.2.3

Subtrahiere $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ von $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 13.1.2.4

Addiere $0$ und $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Schritt 13.1.3

Da $\frac{d g}{d y}$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 13.1.4

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 13.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 13.1.4.2.2

Dividiere $\frac{d g}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Schritt 13.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 13.1.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ als $- e^{- y + \ln (y)}$ um.

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- e^{- y + \ln (y)}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Schritt 14.4

Schreibe $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ als $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ um.

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Schritt 14.5

Schreibe $e^{\ln (y)}$ als $y$ um.

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Schritt 14.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Schritt 14.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.8.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Schritt 14.9

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.9.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.9.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 14.9.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 14.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 14.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 14.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 14.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 14.11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Schritt 14.12

Schreibe $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ als $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ um.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Schritt 14.13

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Schritt 14.14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 14.14.2

Multipliziere $- (- y e^{- y})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.14.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Schritt 14.14.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Schritt 14.14.3

Multipliziere $- - e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Schritt 14.14.3.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Schritt 16

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ um.

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$