Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = e^{3 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ ersetzt wird.

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ um.

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Schritt 4.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Schritt 5

Setze $\frac{11}{3}$ für $K$ in $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $\frac{11}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$