Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{y}{1 - 2 y}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$