Analysis Beispiele

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.4

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2$ .

$\frac{1 - 2}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $2 y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $2 y$ .

$\frac{1 - 2}{2 y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2 y}$

Schritt 5.3.3

Ersetze $M$ durch $2 y$ .

$- \frac{1}{2 y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

Schritt 6.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ .

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Schritt 6.5.1.1

Stelle $\ln (| y |)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Schritt 6.5.2

Vereinfache $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Schritt 6.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Schritt 6.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Schritt 6.5.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Schritt 6.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 y$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $y^{- \frac{1}{2}}$ mit $y$ .

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Schritt 7.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $x + 4 y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $x + 4 y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{\frac{1}{2}} x$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $x$ und $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.12

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3.14

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 13.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 13.1.1.3.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.4.1

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.4.2.1

Bewege $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.4.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $4 y^{\frac{3}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $4 y^{\frac{3}{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 14.3

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 14.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.5.1

Schreibe $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ als $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.5.2

Vereinfache.

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Schritt 14.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{5}$ .

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 14.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 16

Vereinfache $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $y^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Schritt 16.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ um.

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$