Analysis Beispiele

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $\cos (x) \sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x) \sin (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Schritt 1.4

Subtrahiere $2 x y$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y (1 - x^{2})$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Schritt 2.8.2

Stelle die Faktoren von $y (- 2 x)$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 2 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 x y = - 2 x y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 2 x y = - 2 x y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $1 - x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $1 - x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.3

Schreibe $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.2

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.8

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $- 2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.3.11.2.4

Dividiere $- y^{2} x$ durch $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

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Schritt 9.1.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- x y^{2}$ und $y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $- y^{2} x$ und $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Schritt 9.1.2.3

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $\cos (x) \sin (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 10.3

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.3.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.3.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 10.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 10.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \int - u d u$

Schritt 10.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int u d u$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 10.6

Schreibe $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ um.

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 10.7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.6

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 12.7

Kombiniere $\cos^{2} (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$