Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 3 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $- \frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 3 x^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 3$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 3 d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 x + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = 3 x + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (3 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (3 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (3 x + C) x^{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(3 x + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 x \cdot x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = 3 (x^{2} x) + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 8.3.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = 3 (x^{2} x^{1}) + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 3 x^{2 + 1} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = 3 x^{3} + C x^{2}$

Schritt 8.3.2.1.3

Stelle $3 x^{3}$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} + 3 x^{3}$