Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ als $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{3}{x} + C}$ als $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{3}{x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$