Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Schritt 1.3.2

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Schritt 1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.6

Separiere Brüche.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Schritt 1.3.7

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Schritt 1.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 1.3.9

Dividiere $\sin (θ)$ durch $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Schritt 1.3.10

Multipliziere $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.10.1

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Schritt 1.3.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.1.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.5

Sei $u_{1} = - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Es sei $u_{1} = - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.8

Schreibe $y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})$ als $- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1}$ um.

$- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.9

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.2.10

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = \sin (θ)$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , folglich $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = \sin (θ)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Die Ableitung von $\sin (θ)$ nach $θ$ ist $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (θ)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- e^{- y} y - e^{- y} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$