Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + y^{2} \sin (x) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \sin (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2} \sin (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Schritt 1.3.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (\sin (x)))$

Schritt 1.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \sin (x))$

Schritt 1.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \sin (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- \cos (x) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \cos (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = \cos (x) + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = \cos (x) y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \cos (x) y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $\cos (x) y + K y$ um.

$- 1 = y \cos (x) + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $y \cos (x) + K y = - 1$ um.

$y \cos (x) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x) + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$y (\cos (x)) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (\cos (x)) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\cos (x)) + y K$ heraus.

$y (\cos (x) + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (\cos (x) + K) = - 1$ durch $\cos (x) + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\cos (x) + K) = - 1$ durch $\cos (x) + K$ .

$\frac{y (\cos (x) + K)}{\cos (x) + K} = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\cos (x) + K)}{\cos (x) + K} = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{\cos (x) + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{\cos (x) + K}$