Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} + 3 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (e^{3 x} + 3 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int e^{3 x} + 3 x d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} + 3 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int 3 x d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int 3 x d x$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int 3 x d x$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int 3 x d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int 3 x d x$

Schritt 2.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 \int x d x$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.8.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{3}{2} x^{2} + K$