Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Schritt 6.1.1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Schritt 6.1.1.3

Addiere $\frac{1}{v}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Schritt 6.1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.2.2

Dividiere $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.4.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.2

Dividiere $\frac{1}{v^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Schritt 6.1.1.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ als $- \frac{1}{v}$ um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Schritt 6.1.1.5

Multipliziere beide Seiten mit $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.6.2.1

Vereinfache $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 6.1.1.6.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{v}$ in den Zähler.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3.2

Faktorisiere $v$ aus $v^{2}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Schritt 6.1.1.6.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Schritt 6.1.1.6.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1.6.2.1.4.1

Schreibe $- 1 v$ als $- v$ um.

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Schritt 6.1.1.6.2.1.4.2

Stelle $1$ und $- v$ um.

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- v + 1}$ mit $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- v + 1$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Schritt 6.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = - v + 1$ . Dann ist $d u = - d v$ , folglich $- d u = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = - v + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Schritt 6.2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Schritt 6.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Schritt 6.3

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2.2

Dividiere $\ln (| - v + 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Schritt 6.3.2

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Schritt 6.3.3

Schreibe $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Schritt 6.3.4

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ um.

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Schritt 6.3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Schritt 6.3.4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Schritt 6.3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.4.2.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ als $- (\pm e^{- x - C})$ um.

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.3.4.4.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Schritt 6.4.2

Schreibe $e^{- x + C}$ als $e^{- x} e^{C}$ um.

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Schritt 6.4.3

Stelle $e^{- x}$ und $e^{C}$ um.

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Schritt 6.4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$