Analysis Beispiele

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Schritt 1.6

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{4 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Schritt 1.7

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{4 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{4 x}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- \frac{1}{4}}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{4 x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{4 x}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.2.5.2.5

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

Schritt 3.4

Kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3.7

Bringe $x^{\frac{1}{4}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 3.8

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.1

Bewege $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{4}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

Schritt 3.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

Schritt 3.8.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

Schritt 3.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

Schritt 3.8.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ als $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $28$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 7.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2

Multipliziere $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ und $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Multipliziere $x^{\frac{7}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.4

Addiere $1$ und $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.5

Dividiere $8$ durch $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$