Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{5 x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = y - 3$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y - 3 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| y - 3 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 3 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| y - 3 |)$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln (| y - 3 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $5 \ln (| y - 3 |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| y - 3 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5}$ als $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ um.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}$ an.

$\ln (\frac{{({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ um.

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3.9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y - 3 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3.9.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 3.9.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$