Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{- y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (x^{2} e^{- y})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $x^{2} e^{- y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} x^{2})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} x^{2})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{3}}{3} + K)$