Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 13$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 5 t^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 10 t d t$ , folglich $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 5 t^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $10 t$ und $0$ .

$10 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $10$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $13$ für $s$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ ersetzt wird.

$13 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 13$ um.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 13$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 13$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 13$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 13$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 13$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 13$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} + K = 13$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + K = 13$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 13 - 8$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $8$ von $13$ .

$K = 5$

Schritt 5

Setze $5$ für $K$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $5$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 5$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $125$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.9

Wende die Produktregel auf $5 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $5$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $25$ mit $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $9$ mit $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.17

Mutltipliziere $- 27$ mit $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 5$

Schritt 5.2.2.18

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 5$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $625$ und $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.1.2

Kombiniere $\frac{625}{2}$ und $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1500 t^{6}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $1350 t^{4}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 540 t^{2}$ heraus.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 5$

Schritt 5.2.4.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 5$

Schritt 5.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 10}{2}$

Schritt 5.6.2

Addiere $81$ und $10$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{91}{2}$