Analysis Beispiele

$(x^{3} + \frac{y}{x}) d x + (y^{2} + \ln (x)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{3} + \frac{y}{x}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{y}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \frac{y}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.2.2

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $\frac{1}{x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} + \ln (x) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y^{2} + \ln (x)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int y^{2} d y + \int \ln (x) d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \int \ln (x) d y$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C + \ln (x) y + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{3} y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\ln (x) y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = x^{3} + \frac{y}{x}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} = \frac{y}{x}$

Schritt 9.1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x} = 0$

Schritt 9.1.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - x^{3} - \frac{y}{x}$ .

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Schritt 9.1.1.3.1

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} + 0 = 0$

Schritt 9.1.1.3.2

Addiere $\frac{d g}{d x} - x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + \ln (x) y + \frac{x^{4}}{4} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} + y \ln (x) + \frac{x^{4}}{4} + C$