Analysis Beispiele

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Schritt 2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 (x + y^{6})$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y^{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Schritt 2.5

Da $y^{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 4$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - 4$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - 4$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

$- \frac{5}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 5 \ln (| y |)$ , indem du $- 5$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Schritt 5.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{5}$ heraus.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 4 (x + y^{6})$ mit $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 4 x - 4 y^{6}$ mit $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.6

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x - 4 y^{6}$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{6}$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{6}$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y^{6})$ heraus.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.10

Schreibe $- (x + y^{6})$ als $- 1 (x + y^{6})$ um.

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{y^{4}}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y^{4}}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{4}}$ als ${(y^{4})}^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{4}$ .

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Schritt 11.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 11.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.7

Multipliziere $y^{- 8}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.7.1

Bewege $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Addiere $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Addiere $0$ und $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{6}$ und $y^{5}$ .

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Schritt 12.1.1.6.1

Faktorisiere $y^{5}$ aus $4 y^{6}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Schritt 12.1.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.1.6.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Schritt 12.1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Schritt 12.1.1.6.2.4

Dividiere $4 y$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 4 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Schritt 13.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ um.

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Schritt 13.5.2.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$