Analysis Beispiele

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ durch $x^{2} y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ durch $x^{2} y$ .

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Kombinieren.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

Schritt 1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.1.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- y} d y$ mit $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.5

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.5.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.5.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.8

Schreibe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ als $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ um.

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.9

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2.10

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- x^{- 1} + C_{2}$ als $- \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$