Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

Schritt 1

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{2}$ ist.

$v = y^{- 1}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- 1}$

Schritt 3

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 4.1

Nimm die Ableitung von $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $v$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Schritt 5

Setze $- \frac{v'}{v^{2}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- 1}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ ein.

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ mit $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Faktorisiere $v^{2}$ aus $- v^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- 1}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.5.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.2.1.8

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

Schritt 6.1.3.2

Multipliziere $v^{- 2}$ mit $v^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.2.1

Bewege $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Schritt 6.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Schritt 6.1.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

Schritt 6.1.3.3

Vereinfache $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

Schritt 6.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 1$ gilt.

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Schritt 6.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d x}$

Schritt 6.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x + C}$

Schritt 6.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{x}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

Schritt 6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

Schritt 6.3.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

Schritt 6.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

Schritt 6.3.3.3

Addiere $x$ und $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

Schritt 6.3.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ um.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

Schritt 6.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

Schritt 6.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 6.6

Integriere die linke Seite.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 6.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.7.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

Schritt 6.7.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.7.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.7.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.7.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.7.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 6.7.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 6.7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.7.5

Vereinfache.

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Schritt 6.7.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.5.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

Schritt 6.7.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

Schritt 6.7.7

Vereinfache.

$e^{x} v = - e^{u} + C$

Schritt 6.7.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

Schritt 6.8

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ durch $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 6.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 x}$ und $e^{x}$ .

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Schritt 6.8.3.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 6.8.3.1.2.4

Dividiere $- e^{x}$ durch $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Schritt 7

Ersetze $v$ durch $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$