Analysis Beispiele

$(- 20 x y^{2} + 6 x) d x + (3 y^{2} - 20 x^{2} y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - 20 x y^{2} + 6 x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 20 x y^{2} + 6 x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 20 x y^{2} + 6 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 20 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 20 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 20 x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 20 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x y^{2}$ nach $y$ gleich $- 20 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 20 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 20 x (2 y) + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 20$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 40 x y + \frac{d}{d y} [6 x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 40 x y + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 40 x y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 40 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} - 20 x^{2} y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{2} - 20 x^{2} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2} y]$

Schritt 2.2.2

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 20 x^{2} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 20 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x^{2} y$ nach $x$ gleich $- 20 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 20 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 20 y (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 20$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 40 y x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $40 y x$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 40 y x$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $- 40 y x$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 40 x y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 40 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 40 x y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 40 x y = - 40 x y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 40 x y = - 40 x y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 20 x y^{2} + 6 x d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = - 20 x y^{2} + 6 x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int - 20 x y^{2} d x + \int 6 x d x$

Schritt 5.2

Da $- 20 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 20 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - 20 y^{2} \int x d x + \int 6 x d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - 20 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x d x$

Schritt 5.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - 20 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - 20 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = - 20 \cdot \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 20}{2} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot - 10}{2} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot - 10}{2 (1)} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 1} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{- 10}{1} y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2.4

Dividiere $- 10$ durch $1$ .

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 6 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + \frac{6 x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2} + C$

Schritt 5.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 5.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + \frac{2 (3 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 5.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + \frac{3 x^{2}}{1} + C$

Schritt 5.7.5.2.4

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 10 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- 10 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 10 y^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- 10 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 10 y^{2} x^{2}$ nach $y$ gleich $- 10 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 10 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$- 20 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.4

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 20 x^{2} y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$- 20 x^{2} y + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $- 20 x^{2} y$ und $0$ .

$- 20 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - 20 x^{2} y = 3 y^{2} - 20 x^{2} y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $20 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - 20 x^{2} y + 20 x^{2} y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 y^{2} - 20 x^{2} y + 20 x^{2} y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- 20 x^{2} y$ und $20 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $3 y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $3 y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Schritt 10.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ um.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - 10 y^{2} x^{2} + 3 x^{2} + y^{3} + C$