Analysis Beispiele

$e^{- y} \sin (x) - \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $e^{- y} \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ durch $- \cos^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ durch $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3.3

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 1.1.2.3.5

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 1.1.2.3.6

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.1.2.3.7

Dividiere $e^{- y}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec (x) \tan (x))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $e^{- y} \sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2.3

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = \sec (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\sec (x) + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\sec (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\sec (x) + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\sec (x) + K)$