Analysis Beispiele

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x y + y - 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 2.4.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Schritt 2.4.3

Addiere $x + 1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x + 1 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$x + 1 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $x + 1$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int d x}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x y + y - 1$ mit $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Schritt 7.3

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x$ mit $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = x e^{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ um.

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $y e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

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Schritt 13.1.3.1

Subtrahiere $x y e^{x}$ von $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $0$ und $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Schritt 13.1.3.3

Subtrahiere $y e^{x}$ von $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Schritt 13.1.3.4

Subtrahiere $e^{x}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Schritt 14.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Schritt 14.5

Vereinfache.

$g (x) = - e^{x} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Schritt 16

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ um.

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$