Analysis Beispiele

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x y^{2} d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $(x^{2} + 1) y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.4

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.4.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.4.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3.4.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.3.4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 4.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.7.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Entferne den Absolutwert in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

Schritt 5.3.3.2

Stelle die Faktoren in $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ um.

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Schreibe die Gleichung als $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ um.

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $y$ aus $C y$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ heraus.

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Schritt 5.4.3

Schreibe $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ als $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ um.

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Schritt 5.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ durch $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ durch $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

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Schritt 5.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Schritt 5.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Schritt 5.4.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

Schritt 5.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

Schritt 5.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Schritt 5.4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.3.5.1

Schreibe $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ als $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ um.

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Schritt 5.4.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Schritt 5.4.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Schritt 5.4.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$