Analysis Beispiele

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $17.6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $17.6$ aus dem Integral.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 35.2 t d t$ , folglich $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $17.6 t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $17.6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $17.6 t^{2}$ nach $t$ gleich $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$35.2 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $35.2 t$ und $0$ .

$35.2 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $35.2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{35.2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{35.2}$ aus dem Integral.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{35.2}$ und $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ um.

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$