Analysis Beispiele

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Schritt 1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Faktoren in $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ um.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Schritt 1.2.2

Addiere $y \sin (\frac{y}{x})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ durch $x \sin (\frac{y}{x})$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ durch $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.2

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ nach $\csc (\frac{y}{x})$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Schritt 1.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \csc (V) + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $- \csc (V)$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Schritt 6.1.3

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (V)$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{\csc (V)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe $\csc (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (V)}$ zu dividieren.

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\sin (V)$ nach $V$ ist $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2.2

Dividiere $\cos (V)$ durch $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Schritt 6.3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $V$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$