Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x e^{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (x e^{2 y})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 y}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $x e^{2 y}$ heraus.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} x)$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{2 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- 2 y}$ mit $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = - 2 y$ . Dann ist $d u = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Schritt 2.2.3.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Schritt 2.2.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int x d x$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.2.8

Ersetze alle $u$ durch $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int x d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $e^{- 2 y}$ mit $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 2 y} = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{- 2 y} = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- 2 y} = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 2 y} = - x^{2} - 2 K$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{- 2 y})$ durch Herausziehen von $- 2 y$ aus dem Logarithmus.

$- 2 y \ln (e) = \ln (- x^{2} - 2 K)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (- x^{2} - 2 K)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = \ln (- x^{2} - 2 K)$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{- 2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (- x^{2} - 2 K)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{\ln (- x^{2} + K)}{2}$